Scipy積分

當一個函數不能被分析積分,或者很難分析積分時,通常會轉向數值積分方法。 SciPy有許多用於執行數值積分的程序。 它們中的大多數都在同一個scipy.integrate庫中。 下表列出了一些常用函數。

編號

示例

描述

1

quad

單積分

2

dblquad

二重積分

3

tplquad

三重積分

4

nquad

n倍多重積分

5

fixed_quad

高斯積分,階數n

6

quadrature

高斯正交到容差

7

romberg

Romberg積分

8

trapz

梯形規則

9

cumtrapz

梯形法則累計計算積分

10

simps

辛普森的規則

11

romb

Romberg積分

12

polyint

分析多項式積分(NumPy)

13

poly1d

輔助函數polyint(NumPy)

單積分

Quad函數是SciPy積分函數的主力。 數值積分有時稱爲正交積分,因此稱爲名稱。 它通常是在ab給定的固定範圍內執行函數f(x)的單個積分的默認選擇。

Scipy積分

quad的一般形式是scipy.integrate.quad(f,a,b),其中'f'是要積分的函數的名稱。 而'a''b'分別是下限和上限。 下面來看看一個高斯函數的例子,它的積分範圍是01

首先需要定義這個函數:
Scipy積分

這可以使用lambda表達式完成,然後在該函數上調用四方法。

import scipy.integrate
from numpy import exp
f= lambda x:exp(-x**2)
i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1)
print (i)

執行上面示例代碼,得到以下結果 -

(0.7468241328124271, 8.291413475940725e-15)

四元函數返回兩個值,其中第一個數字是積分值,第二個數值是積分值絕對誤差的估計值。

注 - 由於quad需要函數作爲第一個參數,因此不能直接將exp作爲參數傳遞。 Quad函數接受正和負無窮作爲限制。 Quad函數可以積分單個變量的標準預定義NumPy函數,如expsincos

多重積分

雙重和三重積分的機制已被包含到函數dblquadtplquadnquad中。 這些函數分別積分了四個或六個參數。 所有內積分的界限都需要定義爲函數。

雙重積分

dblquad的一般形式是scipy.integrate.dblquad(func,a,b,gfun,hfun)。 其中,func是要積分函數的名稱,'a''b'分別是x變量的下限和上限,而gfunhfun是定義變量y的下限和上限的函數名稱。

看看一個執行雙重積分方法的示例。

Scipy積分

使用lambda表達式定義函數fgh。 請注意,即使gh是常數,它們可能在很多情況下必須定義爲函數,正如在這裏爲下限所做的那樣。

import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
f = lambda x, y : 16*x*y
g = lambda x : 0
h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
print (i)

執行上面示例代碼,得到以下結果 -

(0.5, 1.7092350012594845e-14)

除上述例程外,scipy.integrate還有許多其他積分的程序,其中包括執行n次多重積分的nquad以及實現各種集成算法的其他例程。 但是,quaddblquad將滿足對數值積分的大部分需求。

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