Matlab微分和導數
MATLAB提供用於計算符號導數的diff命令。 以最簡單的形式，將要微分的功能傳遞給diff命令作爲參數。
例如，計算函數的導數的方程式 -
例子
創建腳本文件並在其中鍵入以下代碼 -
syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)執行上面示例代碼，得到以下結果 -
Trial>> syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)
ans =
6*t - 4/t^3以下是使用Octave 計算的寫法 -
pkg load symbolic
symbols
t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)執行上面示例代碼，得到以下結果 -
ans =
6*t - 4/t^3基本微分規則的驗證
下面簡要說明微分規則的各種方程或規則，並驗證這些規則。 爲此，我們將寫一個第一階導數f'(x)和二階導數f「(x)。
以下是微分的規則 -
規則 - 1
對於任何函數f和g，任何實數a和b是函數的導數：
*h(x) = af(x) + bg(x)相對於x，由h’(x) = af’(x) + bg’(x)*給出。
規則 - 2
sum和subtraction規則表述爲：如果f和g是兩個函數，則f'和g'分別是它們的導數，如下 -
(f + g)' = f' + g'
(f - g)' = f' - g'規則 - 3
product規則表述爲：如果f和g是兩個函數，則f'和g'分別是它們的導數，如下 -
(f.g)' = f'.g + g'.f規則 - 4
quotient規則表明，如果f和g是兩個函數，則f'和g'分別是它們的導數，那麼 -
規則 - 5
多項式或基本次冪規則表述爲：如果y = f(x)= x^n，則 -
這個規則的直接結果是任何常數的導數爲零，即如果y = k，那麼爲任何常數 -
f' = 0規則 - 5
chain規則表述爲 - 相對於x的函數h(x)= f(g(x))的函數的導數是 -
h'(x)= f'(g(x)).g'(x)例子
創建腳本文件並在其中鍵入以下代碼 -
syms x
syms t
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)
f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)執行上面示例代碼，得到 以下結果 -
f =
(x^2 + 3)*(x + 2)
der1 =
2*x*(x + 2) + x^2 + 3
f =
(t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
der2 =
(t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
f =
(x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 =
(2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
f =
(2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 =
(4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
f =
(x^2 + 1)^17
der5 =
34*x*(x^2 + 1)^16
f =
1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
der6 =
-(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7以下是對上面示例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x=sym("x");
t=sym("t");
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = differentiate(f,x)
f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3)
der2 = differentiate(f,t)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = differentiate(f,x)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = differentiate(f,x)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = differentiate(f,x)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = differentiate(f,t)指數，對數和三角函數的導數
下表提供了常用指數，對數和三角函數的導數，
例子
創建腳本文件並在其中鍵入以下代碼 -
syms x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)執行上面示例代碼，得到以下結果 -
y =
exp(x)
ans =
exp(x)
y =
x^9
ans =
9*x^8
y =
sin(x)
ans =
cos(x)
y =
tan(x)
ans =
tan(x)^2 + 1
y =
cos(x)
ans =
-sin(x)
y =
log(x)
ans =
1/x
y =
log(x)/log(10)
ans =
1/(x*log(10))
y =
sin(x)^2
ans =
2*cos(x)*sin(x)
y =
cos(3*x^2 + 2*x + 1)
ans =
-sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
y =
exp(x)/sin(x)
ans =
exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2以下代碼是上面代碼的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)
y = x^9
differentiate(y,x)
y = Sin(x)
differentiate(y,x)
y = Tan(x)
differentiate(y,x)
y = Cos(x)
differentiate(y,x)
y = Log(x)
differentiate(y,x)
% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)
y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)
y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)
y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)計算高階導數
要計算函數f的較高導數，可使用diff(f，n)。
計算函數的二階導數公式爲 -
f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)MATLAB執行上面代碼將返回以下結果 -
ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)以下是使用Octave重寫上面示例，代碼如下 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)例子
在這個例子中，要解決一個問題。由給定函數y = f(x)= 3sin(x)+ 7cos(5x)，來找出方程f「+ f = -5cos(2x)是否成立。
創建腳本文件並在其中鍵入以下代碼 -
syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x); % defining the function
lhs = diff(y,2)+y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x); %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
disp('Yes, the equation holds true');
else
disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);運行文件時，會顯示以下結果 -
No, the equation does not hold true
Value of LHS is:
-168*cos(5*x)以上是上面示例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x); % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x); %rhs of the equation
if(lhs == rhs)
disp('Yes, the equation holds true');
else
disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);查找曲線的最大和最小值
如果正在搜索圖形的局部最大值和最小值，基本上是在特定地點的函數圖上或符號變量的特定值範圍內查找最高點或最低點。
對於函數y = f(x)，圖形具有零斜率的圖上的點稱爲固定點。 換句話說，固定點是f'(x)= 0。
要找到微分的函數的固定點，需要將導數設置爲零並求解方程。
示例
要找到函數f(x)= 2x3 + 3x2 - 12x + 17的固定點
可參考以下步驟 -
首先輸入函數並繪製圖，代碼如下 -
syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y)執行上面示例代碼，得到以下結果 -
以上是上面示例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y)
print -deps graph.eps我們的目標是在圖上找到一些局部最大值和最小值，假設要找到圖中間隔在[-2,2]的局部最大值和最小值。參考以下示例代碼 -
syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])執行上面示例代碼，得到以下結果 -
以下是上面示例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps接下來，需要計算導數。
g = diff(y)MATLAB執行代碼並返回以下結果 -
g =
6*x^2 + 6*x - 12以下是上面示例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)接下來求解導數函數g，得到它變爲零的值。
s = solve(g)MATLAB執行代碼並返回以下結果 -
s =
1
-2以下是上面示例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])這與我們設想情節一致。 因此，要評估臨界點x = 1，-2處的函數f。可以使用subs命令替換符號函數中的值。
subs(y, 1), subs(y, -2)MATLAB執行代碼並返回以下結果 -
ans =
10
ans =
37以下是上面示例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)因此，在間隔[-2,2]中函數f(x)= 2x^3 + 3x^2 - 12x + 17的最小值和最大值分別爲10和37。
求解微分方程
MATLAB提供了用於求解微分方程的dsolve命令。
找到單個方程的解的最基本的dsolve命令形式是 -
dsolve('eqn')其中eqn是用於輸入方程式的文本串。
它返回一個符號解，其中包含一組任意常量，MATLAB標記C1，C2等等。
還可以爲問題指定初始和邊界條件，以逗號分隔的列表遵循以下公式：
dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)爲了使用dsolve命令，導數用D表示。例如，像f'(t)= -2 * f + cost(t)這樣的等式輸入爲 -
'Df = -2*f + cos(t)'較高階導數由D導數的順序表示。
例如，方程f"(x) + 2f'(x) = 5sin3x應輸入爲 -
'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'下面來看一個一階微分方程的簡單例子：y'= 5y。
s = dsolve('Dy = 5*y')MATLAB執行代碼並返回以下結果 -
s =
C2*exp(5*t)再來一個二階微分方程的例子：y「-y = 0，y(0)= -1，y'(0)= 2。
dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')MATLAB執行代碼並返回以下結果 -
ans =
exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2